Chapitre 14 − Mouvement et énergie

1. Énergie cinétique

Un corps en mouvement possède une énergie cinétique :

\[E_c = \frac{1}{2} × m × v^2\]

avec \(E_c\) en J, \(m\) en kg, v en \(m·s^{-1}\)

2. Travail d’une force constante

force constante: Une force est constante si sa direction, son sens et sa valeur ne varient pas au cours du temps.

Est-ce que cette force travail ?

le poids du livre posé sur la table
le poids d’un livre qui tombe
la traction qu’exerce un tracteur sur un outil de labour
le poids d’un bloc de béton immobile suspendue au filin d’une grue

2.1. Énoncé

Le travail d’une force est l’énergie fournie par la force. Pour qu’une force fournisse un travail, son point d’application doit subir un déplacement \(\overrightarrow{AB}\). Son travail \(W_{AB}(\overrightarrow{F})\) s’exprime alors :

\[W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}\]

Rappel sur le produit scalaire de deux vecteurs :

avec les normes et l’angles entre les vecteurs

\(\vec{A}.\vec{B} = A × B × \cos θ \qquad\) où θ est l’angle entre \(\vec A\) et \(\vec B\).

avec les coordonnées

Soit \(\vec A = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix}\) et \(\vec B = \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ z_B \end{pmatrix}\)

alors \(\vec{A}.\vec{B} = x_A × x_B + y_A × y_B + z_A × z_B\)

Travail de la force F pour le déplacement rectiligne AB :

sens trigo

\(\begin{aligned} W_{AB}(\vec F) &= \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}\\ W_{AB}(\vec F) &= F × AB × \cos (\theta)\\ \text{A.N.}\quad W_{AB}(\vec F) &= 1 × \sqrt{18} × \cos (135°)\\ W_{AB}(\vec F) &= -3\text{ J} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} W_{AB}(\vec F) &= \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}\\ W_{AB}(\vec F) &= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\\ \text{A.N.}\quad W_{AB}(\vec F) &= 0 × 3 - 1 × 3\\ W_{AB}(\vec F) &= -3 \text{ J} \end{aligned}\)

Si W > 0, on dit que le travail est moteur ;
si W < 0, on dit que le travail est résistant ;
si W = 0, on dit que le travail est nul.

3. Forces conservatives et non conservatives

3.1 Définition

Une force est dite conservative lorsque le travail de cette force ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des positions de départ et d’arrivée.

3.2. Travail d’une force conservative

Un exemple pour illustrer

Le poids d’un corps est-il une force constante ?

Le poids \(\vec P\) est une force constante si on reste proche de la surface de la Terre.

Ecrire l’expression du travail du poids du skieur le long de [AB] et le long de [BC]. En déduire l’expression du travail total du poids sur le parcours A, B, C.

\(W_{AB}(\vec P) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}\)
\(W_{BC}(\vec P) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{BC}\)
\(W_{AC}(\vec P) = \overrightarrow{P}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{P}.\overrightarrow{AC}\)

Le travail total dépend-il du point B ?

Le travail total ne dépend pas du point B et donc ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A à C.

Le travail d’une force constante est indépendant du chemin suivi. Une force constante est donc conservative.

3.3. Cas du travail du poids

Calculons le travail du poids d’un objet de masse m se déplaçant d’un point A à un point B.

3.4. Travail d’une force non-conservative, les forces de frottements

Un exemple pour illustrer

Cas n° 1 : un skieur de ski de fond va directement de A vers B

Cas n°2 : Calculons maintenant le travail de \(\vec f\) si le skieur va de A à B en passant par C.

Le travail d’une force non-conservative dépend du chemin suivi. Une force de frottement n’est pas conservative.

4. Théorème de l’énergie cinétique

Énoncé

La variation de l’énergie cinétique ΔE_c d’un système en mouvement d’un point A à un point B est égale à la somme des travaux des forces qu’il subit

soit :

\[ΔE_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum_i W_{AB}(\overrightarrow{F_i})\]

valable dans un réf galiléen

Définir le système
Référentiel
Bilan des forces
Utilisation du TEC

5. Énergie potentielle de pesanteur

À toute force conservative , on peut associer une énergie potentielle \(E_p\), tel que \(ΔE_p = -W_{AB}(\overrightarrow{F_c})\)

exercices 12 et 13 p. 269

6. Énergie mécanique

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle du système :

\[\mathscr{E}_m = \mathscr{E}_p + \mathscr{E}_c\]

On peut également écrire :

\[Δ\mathscr{E}_m = Δ\mathscr{E}_p + Δ\mathscr{E}_c\]

6.1 Conservation de l’énergie mécanique

Lorsqu’un système n’est soumis qu’à des forces conservatives (ou bien des forces non conservatives dont le travail est nul), son énergie mécanique se conserve :

\[\mathscr{E}_m = \mathscr{E}_p + \mathscr{E}_c = \text{constante}\]

donc : \(\begin{aligned} Δ\mathscr{E}_m &= 0\\ \text{donc }Δ\mathscr{E}_c &= - Δ\mathscr{E}_p \end{aligned}\)

Les variations d’énergie potentielle sont compensées par les variations d’énergie cinétique.

Exemple tracé des énergies cinétiques et potentielles lors d’une chute libre TODO

simulateur de chute

skate-park

exercices supplémentaire n°4, 15 p. 269; 23 p. 271

6.2 Non-conservation de l’énergie mécanique

Lorsqu’un système est soumis à des forces non conservatives qui travaillent (par exemple des frottements), son énergie mécanique \(\mathscr{E}_m\) ne se conserve pas : sa variation est égale au travail des forces non conservatives.

Δ_m = W()

Application : ex 26 p. 272; 34 p. 275